Коллеги помогите!

17.05.2009 15:42 №7538 **Коллеги помогите!**

Уже третий урок не можем с учениками решить задачу. Помогите пожалуйста.
Биссектрисы углов равнобедренной трапеции АВСD (АD параллельна ВС), пересекаются в точках K и L. Найдите длину отрезка KL, если известно, что длина боковой стороны АВ равна 10см, а длины оснований АD = 23, BC = 17.

17.05.2009 16:35 №7539 **Re: Коллеги помогите!**

Четыре биссектрисы могут пересекаться в четырёх точках. В задаче сказано только о двух, но о каких именно, из условия понять нельзя.

18.05.2009 00:08 №7544 **Re: Коллеги помогите!**

Цитата:

Четыре биссектрисы могут пересекаться в четырёх точках. В задаче сказано только о двух, но о каких именно, из условия понять нельзя.

Если считать, что биссектиса луч, а не прямая, то в данном случае они пересекаются в двух точках.

Без чертежа, конечно, трудно, но я попробую.

После проведения биссектис мы получаем множество подобных треугольников. Нетрудно доказать то, что это прямоугольные треугольники.
Опустим высоту из вершины В. Образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 3 см. По теореме Пифагора находим длину высоты: квадратный корень из 91.
Если ученики знакомы с синусом и косинусом, вычисляем косинус угла при вершине А. Вычисляем угол А. Угол А + угол В = 180 градусов. Находим углы для всех наших подобных прямоугольных треугольников.
Далее находим длины необходимых отрезков, вычислив длины соответствующих сторон треугольников.

Можно решить и без примениения тригонометрии, достаточно найти все стороны одного из подобных треугольников, а далее, по принципу подобия треугольников, найти длины необходимых отрезков.
Возьмем треугольник с гипотенузой АВ и катетами, образованными биссектрисами.
Используя теорему Пифагора, нетрудно найти длины катетов: корень из 35 и корень из 65. Длина гипотенузы нам известна из условия задачи - 10 см.
Зная длины сторон этого треугольника, можно найти длину стороны любого подобного треугольника у которого известна длина одной стороны.

Ответ: корень из 91 + 45/корень из 2275. Это округленно 10,483 см.
_________________
Андрей Ильин

03.02.2011 12:23 №25152 **Re: Коллеги помогите!**

Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F.Найдите АВ если, АF=24см, BF=10см.

03.02.2011 14:05 №25156 **Re: Коллеги помогите!**

Ответ на сообщение №25152 http://www.s-cool.ru/postp25152.html#25152

Ответ: АВ=26см Верно?

03.02.2011 14:28 №25159 **Re: Коллеги помогите!**

Ответ на сообщение №25152 http://www.s-cool.ru/postp25152.html#25152

Сумма величин углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD равна 180°
Сумма вдвое меньших углов равна 90°
Сумма величин углов треугольника равна 180º, поэтому величина угла при вершине F треугольника ABF равна 90°
Треугольник ABF — прямоугольный. Вам известны катеты. По теореме Пифагора находим величину гипотенузы AB.
_________________
Андрей Ильин